3. 线性空间及线性映射
3.2 子空间
若 \(\boldsymbol{V}\) 是向量空间，\(\boldsymbol{U}\) 是 \(\boldsymbol{V}\) 的子集，如果 \(\boldsymbol{U}\) 也是向量空间，则称 \(\boldsymbol{U}\) 是 \(\boldsymbol{V}\) 的子空间。例如 \(\left\{ \left(x_1, x_2, 0\right): x_1, x_2 \in \mathbb{R} \right\}\) 是 \(\mathbb{R}^3\) （3维子空间）的子空间。
若 \(\boldsymbol{V}\) 是向量空间，\(\boldsymbol{U}\) 是 \(\boldsymbol{V}\) 的子集，验证 \(\boldsymbol{U}\) 是否为 \(\boldsymbol{V}\) 的子空间只需验证以下三点：
存在加法单位元：\(\boldsymbol{0} \in \boldsymbol{U}\)
具有加法封闭性：任意 \(\boldsymbol{u}, \boldsymbol{v} \in \boldsymbol{U}\)，则 \(\boldsymbol{u} + \boldsymbol{v} \in \boldsymbol{U}\)
具有数量乘封闭性：任意 \(a\) 及 \(\boldsymbol{u} \in \boldsymbol{U}\)，则 \(a\boldsymbol{u} \in \boldsymbol{U}\)
\(\{\boldsymbol{0}\}\) 是 \(\boldsymbol{V}\) 的最小子空间，\(\boldsymbol{V}\) 是 \(\boldsymbol{V}\) 本身的最大子空间，\(\{\boldsymbol{0}\}\) 和 \(\boldsymbol{V}\) 称为 \(\boldsymbol{V}\) 的平凡子空间；空集不是子空间，因为它不是向量空间。
【补】张成的向量空间
线性组合定义：对向量组 \(\{\boldsymbol{v}_1, \dots, \boldsymbol{v}_n\}\)，选取标量 \(a_1, \dots, a_n\) 进行加权求和，得到的向量 \(a_1\boldsymbol{v}_1 + \dots + a_n\boldsymbol{v}_n\) 称为原向量组的一个线性组合。标量 \(a_i\) 可视为对各向量的“缩放系数”。
关键特性：
张成的向量空间简述：由一组向量通过线性组合生成的最小向量空间，称为这组向量张成的空间。
核心概念：若有向量组 \(\{\boldsymbol{v}_1, \boldsymbol{v}_2, \dots, \boldsymbol{v}_n\}\)，其所有形如 \(a_1\boldsymbol{v}_1 + a_2\boldsymbol{v}_2 + \dots + a_n\boldsymbol{v}_n\)（\(a_i\) 为任意数）的线性组合构成的集合，记作 \(\text{Span}\{\boldsymbol{v}_1, \dots, \boldsymbol{v}_n\}\)。
关键特性：
该集合必为向量空间，满足加法和数乘封闭性（任意线性组合结果仍在空间内）。
它是包含给定向量组的最小向量空间——任何包含这些向量的空间，都必然包含其张成空间。
直观示例：
在二维平面 \(\mathbb{R}^2\) 中，向量 \(\boldsymbol{e}_1 = (1, 0)\) 和 \(\boldsymbol{e}_2 = (0, 1)\) 的张成空间是整个 \(\mathbb{R}^2\)，因任意二维向量可表示为 \(a\boldsymbol{e}_1 + b\boldsymbol{e}_2\)。
三维空间中向量 \((1, 0, 0)\) 和 \((0, 1, 0)\) 的张成空间是所有形如 \((a, b, 0)\) 的向量，即 \(xOy\) 平面。
向量空间一定要包含\(\boldsymbol{0}\)，但是空集可以张成一个向量空间\(\{\boldsymbol{0}\}\)，该空间只包含一个\(\boldsymbol{0}\).
为什么向量空间必须包含 \(\boldsymbol{0}\)？
向量空间的定义要求存在一个“加法单位元”，即对任意向量 \(\boldsymbol{v}\)，都有 \(\boldsymbol{v} + \boldsymbol{0} = \boldsymbol{v}\)。这个 \(\boldsymbol{0}\) 就像数字中的0一样，是加法运算的“基准点”，没有它就无法满足向量空间的基本性质。因此，任何向量空间都必须包含 \(\boldsymbol{0}\)。
空集如何张成 \(\{\boldsymbol{0}\}\)？
张成空间是向量组所有线性组合的集合。但空集没有任何向量，怎么组合呢？
数学上规定：空集的线性组合是 \(\boldsymbol{0}\)（类似“空乘积”定义为1的约定）。因此，空集张成的空间只包含 \(\boldsymbol{0}\)，即 \(\text{Span}\{\} = \{\boldsymbol{0}\}\)。
为什么 \(\{\boldsymbol{0}\}\) 是合法的向量空间？
它包含 \(\boldsymbol{0}\)，满足加法单位元；
任意两个元素（只有 \(\boldsymbol{0}\) 自己）相加还是 \(\boldsymbol{0}\)，数乘任意标量 \(a\) 后仍是 \(\boldsymbol{0}\)，完全满足封闭性；
其他向量空间的性质（交换律、结合律等）也自然成立。
因此，\(\{\boldsymbol{0}\}\) 是唯一由空集张成的、最小的向量空间，也称为“平凡空间”。